在模型训练过程中，在不断地评估着样本间的距离，如何评估样本距离也是定义优化目标和训练方法的基础。

在机器学习问题中，通常将特征表示为向量的形式，所以在分析两个特征向量之间的相似性时，常使用余弦相似度来表示。余弦相似度的取值范围是$[-1,1]$，相同的两个向量之间的相似度为1.如果希望得到类似于距离的表示，将1减去余弦相似度即为余弦距离。因此，余弦距离的取值范围为$[0,2]$，相同的两个向量余弦距离为0。

为何在一些场景中使用余弦相似度而不是欧式距离？

对于两个向量$A$和$B$，其余弦相似度定义为$cos(A,B) = \frac{A·B}{||A||_2||B||_2}$,即两个向量夹角的余弦，关注的是向量之间的角度关系，并不关心它们的绝对大小，其取值范围是$[-1,1]$。当一对文本相似度的长度差距很大、但内容相近时，如果使用词频或词向量作为特征，它们在特征空间中的欧氏距离通常很大；而如果使用余弦相似度的话，它们之间的夹角可能很小，因而相似度高。此外，在文本、图像、视频等领域，研究的对象的特征维度往往很高，余弦相似度在高维情况下依然保持“相同时1，正交时为0，相反时为-1”的性质，而欧氏距离的数值则受维度的影响，范围不固定，并且含义也比较模糊。

在一些场景，例如Word2Vec中，其向量的模长是经过归一化的，此时欧式距离与余弦距离有着单调的关系，即：

$$||A - B||_2 =\sqrt{2(1-cos(A,B))}$$

其中$||A-B||_2$表示欧氏距离，$cos(A,B)$表示余弦相似度，$1-cos(A,B)$表示余弦距离。在此场景下，如果选择距离最小（相似度最大）的近邻，那么使用余弦相似度和欧式距离的结果是相同的。

总体来说，欧氏距离体现数值上的绝对差异，而余弦距离体现方向上的相对差异。例如，统计两部剧的用户观看行为，用户A的观看向量为$(0,1)$，用户B为$(1,0)$，此时二者的余弦距离很大，而欧式距离很小；分析两个用户对于不同食品的偏好，更关注相对差异，显然应当使用余弦距离。而分析用户活跃度，以登陆次数（单位：次）和平均观看时长（单位：分钟）作为特征时，余弦距离会认为$(1,10)、(10,100)$两个用户距离很近，但显然这两个用户活跃度是有着极大差异的，此时我们更关注数值绝对差异，应当使用欧式距离。

特定的度量方法适用于什么样的问题，需要在学习和研究中多总结多思考。

余弦距离是否是一个严格定义的距离？

首先距离的定义：在一个集合中，如果每一对元素均可唯一确定一个实数，使得三条距离公理（正定性、对称性、三角不等式）成立，则该实数可称为这对元素之间的距离。

余弦距离满足正定性和对称性，但是不满足三角不等式，因此它并不是严格定义的距离。具体来说，对于向量$A$和$B$，三条距离公理的证明过程如下。

·正定性

根据余弦距离的定义，有

$$dist(A,B)=1-cosθ=\frac{||A||_2||B||_2-AB}{||A||_2||B||_2}$$

考虑到$||A||_2||B||_2-AB≥0$，因此有$dist(A,B)≥0$恒成立。特别地，有

$$dist(A,B)=0 \Longleftrightarrow ||A||_2||B||_2=AB \Longleftrightarrow A=B$$

因此余弦距离满足正定性。

·对称性

根据余弦距离的定义，有

$$dist(A,B)=\frac{||A||_2||B||_2-AB}{||A||_2||B||_2}=\frac{||B||_2||A||_2-AB}{||B||_2||A||_2}=dist(B,A)$$

因此余弦距离满足对称性。

·三角不等式

该性质并不成立，下面给出反例。给定$A=(1,0)$，$B=(1,1)$，$C=(0,1)$，则有

$$dist(A,B)=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$dist(B,C)=1-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$dist(A,C)=1$$

因此有

$$dist(A,B)+dist(B,C)=2-\sqrt{2}\lt1=dist(A,C)$$

也可思考余弦距离和欧式距离的关系，根据前文知道，单位圆上欧氏距离和余弦距离满足

$$||A-B||=\sqrt{2(1-cos(A,B))}=\sqrt{2dist(A,B)}$$

即有如下关系

$$dist(A,B)=\frac{1}{2}||A-B||^2$$

显然在单位圆上，余弦距离和欧式距离的范围都是$[0,2]$。已知欧氏距离为合法距离，而余弦距离与欧氏距离有二次关系，自然不满足三角不等式。具体来说，可以假设$A$与$B$、$B$与$C$非常近，其欧氏距离为极小量$u$，此时$A$、$B$、$C$虽然在圆弧上，但近似在一条直线上，所以$A$与$C$的欧氏距离接近于$2u$。因此$A$与$B$、$B$与$C$的余弦距离为$\frac{u^2}{2}$，$A$与$C$的余弦距离接近于$2u^2$，大于$A$与$B$、$B$与$C$的余弦距离之和。

在机器学习领域，被俗称为距离，却不满足三条距离公理的不仅仅有余弦距离，还有KL距离(Kullback-Leibler Divergence)，也叫作相对熵，它常用于计算两个分布之间的差异，但不满足对称性和三角不等式。